dieses projektthema beschäftigt sich mit der rastergeometrie. dabei geht es rund um die eigenschaften von gitterformen
und problemstellungen, die auf ganzzahligen koordinaten beruhen. vieles kann mit kariertem papier umgesetzt werden.
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die quadratseiten werden halbiert und die teilungspunkte miteinander verbunden. welchen anteil hat eine gitterfigur (teilquadrat) an der gesamtfigur (quadrat)? |
antwort: 1/5 |
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3 : 3 |
1. variation: die anzahl der unterteilungen wird verändert. |  4 : 4 |
 2 : 4 |
2. variation: die unterteilung der beiden seiten wird unterschiedlich gewählt. |
 3 : 4 |
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der erste teilungspunkt der einen seite mit dem ersten teilungspunkt der anderen seite usw. |
3. variation: die teilungspunkte werden versetzt verbunden. |  der erste teilungspunkt der einen seite mit dem zweiten teilungspunkt der anderen seite usw. |
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verändere die parameter selber und untersuche die flächenverhältnisse. | quadrat-unterteilung.ggb |
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rechteck |
4. variation: die grundfigur wird variiert. |  parallelogramm |
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schließlich kann man alle variationen kombinieren. |
eine weitere fragestellung:
wie erhält man den flächeninhalt, wenn man in einem quadratgitter ein dreieck einschreibt?
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die werte m und n sind zufällig gewählt. |
de-im-qu-gitter.ggb |
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1.variation: es wird ein viereck eingeschrieben. | ve-im-qu-raster.ggb |
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2.variation: dreieckraster | de-im-de-gitter.ggb |
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vieleck im quadratraster (satz von pick) |
satzvonpick.ggb |
daran knüpft sich die frage: wann liegen gitterpunkte auf einer geraden?
antwort: lineare diophantische gleichung
ax + by = c ist dann lösbar, wenn ggT(a,b) teiler von c => experimentiere mit lin-diophantisch1.ggb
anzeige der ganzzahligen lösungen: lin-diophantisch2.ggb
wie manifestieren sich rechtwinkelige dreiecke im quadratischen koordinatengitter?
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in einem koordinatengitter werden die punkte (0,0), (m,n), (n,m) und (0,2n) gezeichnet. damit entsteht ein rechtwinkeliges dreieck ABC. zeige, dass sich die seiten wie 2mn : (m²-n²) : (m²+n²) verhalten. |
rwde-im-qu-gitter.ggb |
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variation: dreiecksgitter es gilt ein adäquates seitenverhältnis. (m²-n²) : (2mn+n²) : (m²+n²+mn) |
swde-im-de-gitter.ggb |
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welche quadrate lassen sich |
qu-im-qu-gitter.ggb |
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dreieck mit seitenquadrate. wann sind die flächeninhalte ganzzahlig? | de-qu-gitter.ggb |
ein weiteres problem ist die darstellung einer geraden im rastersystem. dieser nach bresenham benannte
algorithmus soll in geogebra umgesetzt werden.
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aus symmetriegründen genügt es, sich auf steigungen zu beschränken, die maximal 45° betragen. infos dazu: bresenham-algorithmus (wikipedia) |
bresenham-geradeJS.ggb (javascript) bresenham-gerade.dfw (derive) |
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die pixel im oktanten werden dabei entsprechend abgebildet.. infos dazu: bresenham-gerade-kreis.pdf |
bresenham-kreisJS.ggb (javascript) bresenham-kreis.dfw (derive) |
wie viele wege führen in einem quadratraster von A nach B?
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auf wie viele verschiedene arten kann man von A0,0) nach B(n,m) vorwärts wandern? |
antwort:
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variation: |
antwort: wie oben - aufgeteit auf zwei etappen.
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von A(0,0) nach B(n,m) werden zwei routen genommen, die sich weder kreuzen noch berühren dürfen. |
antwort:
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zählen von sichtbaren rechtecken und quadraten in einem nxm-raster.
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a) wie viele rechtecke sind in dem nxm-raster zu sehen? b) wie viele quadrate sind in dem nxm-raster zu sehen? |
antwort: anzahl-re-qu-raster.ggb
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variation: wie viele dreiecke sind in einem nxn-dreiecksraster zu sehen? überlege mit: anzahl-de-test.ggb |
antwort:
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