die strukturmathematik befasst sich mit mengen und verknüpfungen ihrer elemente.
die axiome einer gruppe: (M,¤)
- abgeschlossen: wenn a,b aus M, dann muss a¤b ebenfalls ein element der menge sein
- assoziativ: (a¤b)¤c = a¤(b¤c) d.h. man darf die klammern beliebig setzen und das resultat bleibt gleich.
- neutrales element: es muss genau ein element n geben, sodass für alle elemente a aus M gilt: a¤n = a
- inverse elemente: zu jedem element a aus M muss es ein a* geben, sodass a¤a* = n
gilt zusätzlich: kommutativ: a¤b = b¤a , dann handelt es sich um eine kommutative gruppe.
die axiome eines körpers: (M,¤,•)
- (M,¤) muss eine kommutative gruppe sein: das neutrale element heißt n (nullelement)
- (M\{n},•) muss eine kommutative gruppe sein: das neutrale element heißt e (einslelement)
- distributiv: a•(b¤c) = a•b ¤ a•c und (a¤b)*c = a*c ¤ b*c
beispiele:
(1) (Z,+) ist eine kommutative gruppe
(2) (Q,+,*) ist ein körper
(3) (Z,+,*) ist ein ring, d.h. kein körper, weil es das inverse element bezüglich der multiplikation (kehrwert) nicht gibt
(4) (Zp,+p,*p) restklassen modulo p (primzahl) ist ein körper
z.b.: (Z7,+7,*7) ist ein körper, d.h. zu jeder restklasse gibt es einen "kehrwert" 3*x=1 (7) => x = 5
dies bedeutet, jede lineare gleichung in Z7 ist eindeutig lösbar.
(5) die termgleichheit von (a+b)² = a² + 2ab + b² mit a,b aus R kann folgendermaßen auf die körperregeln zurück geführt werden.
| ausgangsterm | endterm | regel |
| (a+b)² | (a+b)(a+b) | wiederholtes multiplizieren |
| (a+b)(a+b) | a(a+b) + b(a+b) | distributiv |
| a(a+b) + b(a+b) | (a²+ab) + (ba+b²) | distributiv |
| (a²+ab) + (ba+b²) | a²+ab+ab+b² | assoziativ (+), kommutativ(*) |
| a²+(ab+ab)+b² | a² +a(b+b)+b² | assoziativ (+), distributiv |
| a² +a(b+b)+b² | a²+a(b(1+1))+b² | distributiv, neutral(*) |
| a²+a(b(1+1))+b² | a² +ab2 + b² | assoziativ(*) |
| a² +ab2 + b² | a² + 2ab + b² | kommutativ(*) |