tschebyscheff-polynome haben eine sehr spezielle eigenschaft und eigenen sich besonders gut für interpolationsaufgaben.

  • eigenschaften
      T2T3T4.ggb
    die wesentlichen merkmale dieses polynom-typs liegen innerhalb des (einheits-)bereiches [-1,1] x [-1,1]
    T(2,x) = 2x2 - 1
    T(3,x) = 4x3 - 3x
    T(4,x) = 8x4 - 8x2 + 1
     Zeige, dass T(n,T(m,x)) = T(m,T(n,x))
  • formelwerk:
    • explizit:   T(n,x)= cos(n acos(x))
    • rekursiv: T(n,x) = 2x T(n-1,x) - T(n-2,x) mit T(0,x) = 1 und T(1,x) = x
  • interpolation
     
    zur vermeidung von oszillierenden phänomenen eigenen sich die nullstellen eines tschebyscheff-polynoms gut als stützstellen für eine polynominterpolation. siehe Tschebyscheff_Interpolation.ggb

 siehe http://www.lehrer-online.de/tschebyscheff-polynome.php?sid=17062582929823217625602050205950


komplexe Nullstellen einer quadratischen Funktion sichtbar machen quadratischeFunktion.ggb

  • eine quadratische gleichung mit zirkel und lineal lösen
    quadratischeGleichungKreis.ggb
     
  • die komplexen lösungen in 3d visualisieren:
    komplexe zahlen werden in die funktion eingesetzt f(a+bi) und liefern eine komplexe zahl mit real- und imaginärteil,
    die jeweils 0 sein sollen. diese stellen flächen im raum dar, von denen das 0-Niveau interessiert, also ihr schnitt mit der xy-ebene. da die nullstellen erhalten bleiben, wenn man den betrag |f(a+bi)| nimmt, kann man einfach diese fläche  darstellen und man sieht die nullstellen als spitzen, die das nullniveau berühren.
      komplexeLoesungenQuadratFunktion.wxm
     
  • setzte man komplexe zahlen in die funktion ein, so erhält man wieder eine komplexe zahl:
    der realteil ist eine fläche im raum und schneidet aus der xy-ebene eine kurve aus.
    analog schneidet der imaginärteil als fläche im raum ebenfalls eine kurve aus der xy-ebene aus.
    die schnittpunkte der beiden kurven bilden die lösungen.

    wie man diese impliziten kurven erhält, zeigt die geogebra-datei: nullstellensichtbarmachen3.grad.ggb
    das problem in wiris umgesetzt: nullstellensichtbarmachen3.grad.html
     
  • die 3D-umsetzung in Archimedes Geo3D:

    realteil mit spuren in der xy-ebene

    imaginärteil mit spuren in der xy-ebene

    lösungspunkte als schnitt der spuren

    der graph der funktion als xz-spur
    • die lösungen über die komplexe transformation orten:
      in die funktion werden wieder komplexe zahlen eingesetzt und man erhält einen real- und imaginärteil.
      gemäß der vorschrift aus real- und imaginärteil wird ein beliebiger punkt der abbildung unterzogen.
      der punkt muss nun so lange herumbewegt werden, bis der bildpunkt im ursprung landet.
      um diese suche systematisch zu vollziehen, wird der punkt auf einen kreis mit veränderlichem radius gelegt und die zugehörige ortslinie konstruiert. verändert man nun den radius (per schieberegler) so, dass die ortslinie durch den ursprung geht, kann man mit dem punkt gemütlich den kreis entlang bis zur lösung wandern.

      nullstellen_quadratische_funktion_ab01.ggb   nullstellen_quadratische_funktion_ab02.ggb

siehe http://www.lehrer-online.de/nullstellen-quadratische-funktion.php?sid=36653455206211895125043014301630