mathematik und musik:

frequenzen:
264 Hz - c
297 Hz - d
330 Hz - e
352 Hz - f
396 Hz - g
440 Hz - a
495 Hz - h
528 Hz - c'

ausgehend vom monochord (einsaitiges instrument) kann man mit zahlenverhältnissen tonintervalle beschreiben.
dazu wird die saite im angegebenen teilverhältnis nieder gedrückt und der tonunterschied registriert:

528 : 264 = 2 : 1 oktave, d.h. etwa mit grundton c das intervall c : c'
396 : 264 = 3 : 2 quinte, c - g
352 : 264 = 4 : 3 quarte, c - f
330 : 264 = 5 : 4 gr.terz, c - e
396 : 330 = 6 : 5 kl.terz,  e - g
297 : 264 = 9 : 8 gr.sek., c - d
330 : 297 = 10:9 kl.sek.,  d - e
352 : 330 = 16:15 halbton e - f

die quinte wird nun "aufbauend" als eine art "baustein" verwendet.
einen ton zweimal um eine quinte erhöhen bedeutet: 3/2 * 3/2 = 9/4 d.h. 9 : 4 das wäre c : d'
da dieses verhältnis größer als 2 ist, wird halbiert, um in die basistonreihe zu gelangen, also 9 : 8 sekunde, c - d
wird dieser vorgang mehrmals wiederholt, so gelangt man der reihe nach zu:
27 : 16  sext , c - f , 81 : 32 muss wieder reduziert werden, indem man halbiert,  also 81 : 64 d.h. große terz, c - dis
243 : 128, c - h und noch einmal 729 : 512, c - fis

die quarte wird nun "abbauend" als eine art "baustein" verwendet.
einen ton zweimal um eine quarte erniedrigen bedeutet: 4/3 * 4/3 = 16/9 d.h. 16 : 9 septim c : b
wird dieser vorgang mehrmals wiederholt, so gelangt man der reihe nach zu:
64 : 27 muss halbiert werden zu 32 : 27 terz, c - d , 128 : 81 , c - as, 256 : 243, c - des und noch einmal 1024 : 729, c - ges

man gelangt also im aufbauenden quintenturm zu fis und im abbauenden quartenturm zu ges,
die sich mit ihren verhältnissen um das sogenannte pythagoräische komma von 1.36% unterschieden.
(729 : 1024) (729 : 512) = 1.0136

möchte man die oktave nun exakt in zwölf tonschritte unterteilen, dann müsste man ein irrationales "verhältnis" 
von 12.wurzel aus 2 nehmen, d.i. etwa 1.059

je besser man sich an diesen wert annähern kann, umso genauer ergeben zwölf aufeinander getürmte
kleine sekunden genau eine oktave, man nennt dies die reine stimmung.
eine gute annäherung an die reine stimmung erreicht man mit der sogenannten temperierten stimmung:

des as es b f c g d a e h fis
16/5 8/5 6/5 9/5 4/3 1 3/2 9/8 5/3 5/4 15/8 45/32

gitarre und deren bünde:

auf der basis dieser theorie stellt sich die frage, wie man die bünde auf einer gitarre konstruiert.
dazu hat im jahre 1743 ein handwerker namens daniel strähle in den berichten der schwedischen akademie
eine einfache und praktische konstruktion veröffentlicht:


um die aufteilung (y) der bünde über die strecke PR in abhängigkeit von x zu ermitteln, zeigt sich die verwendung von baryzentrischen koordinaten
als sehr vorteilhaft (siehe abbildung) und man erhält :

der grafische vergleich mit der exakten kurve von y = 2x zeigt, wie präzise diese "praktische" konstruktion von strähle ist:

siehe dazu die dateien: strähle.ggb  strählefunktion.ggb