E ... anzahl der ecken /punkte
K ... anzahl der kanten/verbindungsstrecken
F ... anzahl der flächen
die eulersche charakteristik χ gibt den Term E+F-K an.

(1) euklidsche ebene: χ = E + F - K = 2

   
E+F-K = 2+1-1 = 2  E+F-K = 3+2-3 = 2  E+F-K = 5+2-5 = 2

 
(2) euklidscher raum: E+F-K = 2

E+F-K = 4+4-6 = 2 E+F-K = 8+6-12 = 2 E+F-K = 6+8-12 = 2 E+F-K = 20+12-30=2 E+F-K = 12+20-30=2


verallgemeinerung mit dem begriff des geschlechts.
der topologische begriff des geschlechts gibt an, wie viele "löcher" ein körper hat.
ein torus etwa ist ein körper mit einem "loch", deshalb ist das geschlecht 1.
ein doppelter torus, der aussieht wie eine acht, hat das geschlecht 2.

die eulercharakteristik ist χ = E + F - K = 2 - 2g.

 E+F-K = 16+16-32=0
=> g = 1
 E+F-K = 24+22-44=2
=> g = 0
 E+F-K = 28+30-60= -2
=> g = 2
welches geschlecht hat dieser körper?
 würfelgeschlecht1.wrl  für vrml-dateien notfalls cortona3D installieren

man kann mit der eulerschen charakteristik  das geschlecht eines objektes bestimmen, wobei g = 1 - χ /2.
χ ist immer eine gerade zahl.

dieses problem mag schülern insofern zugänglich sein, als die eulercharakteristik und damit das geschlecht allein mit entsprechenden abzähltechniken feststellbar ist.

übungsobjekte:


triedergeschlecht1.wrl
 

tetredergeschlecht1.wrl

tetredergeschlecht0.wrl