dieses projektthema beschäftigt sich mit der rastergeometrie. dabei geht es rund um die eigenschaften von gitterformen
und problemstellungen, die auf ganzzahligen koordinaten beruhen. vieles kann mit kariertem papier umgesetzt werden.

die quadratseiten werden halbiert und die teilungspunkte miteinander verbunden. welchen anteil hat eine gitterfigur  (teilquadrat) an der gesamtfigur (quadrat)?

 antwort: 1/5

3 : 3

 1. variation: die anzahl der unterteilungen wird verändert.
4 : 4

2 : 4

2. variation: die unterteilung der beiden seiten wird unterschiedlich gewählt.

 
3 : 4

 

der erste teilungspunkt der einen seite mit dem ersten teilungspunkt der anderen seite usw.

 3. variation: die teilungspunkte werden versetzt verbunden.
der erste teilungspunkt der einen seite mit dem zweiten teilungspunkt der anderen seite usw.

 

verändere die parameter selber und untersuche die flächenverhältnisse. quadrat-unterteilung.ggb

rechteck

 4. variation: die grundfigur wird variiert.
parallelogramm

 

schließlich kann man alle variationen kombinieren.

eine weitere fragestellung:

wie erhält man den flächeninhalt, wenn man in einem quadratgitter ein dreieck einschreibt?

die werte m und n sind zufällig gewählt.
die flächeneinheit ist ein teilquadrat.
drücke damit den flächeninhalt des dreiecks aus.

de-im-qu-gitter.ggb
  1.variation: es wird ein viereck eingeschrieben. ve-im-qu-raster.ggb
  2.variation: dreieckraster de-im-de-gitter.ggb
  vieleck im quadratraster (satz von pick)
 
satzvonpick.ggb

daran knüpft sich die frage: wann liegen gitterpunkte auf einer geraden?

antwort: lineare diophantische gleichung
ax + by = c  ist dann lösbar, wenn ggT(a,b) teiler von c => experimentiere mit lin-diophantisch1.ggb
anzeige der ganzzahligen lösungen: lin-diophantisch2.ggb


wie manifestieren sich rechtwinkelige dreiecke im quadratischen koordinatengitter?

in einem koordinatengitter werden

die punkte (0,0), (m,n), (n,m) und (0,2n)

gezeichnet. damit entsteht ein

rechtwinkeliges dreieck ABC.

zeige, dass sich die seiten wie

2mn : (m²-n²) : (m²+n²) verhalten.

rwde-im-qu-gitter.ggb
 

variation: dreiecksgitter

es gilt ein adäquates seitenverhältnis.

(m²-n²) : (2mn+n²) : (m²+n²+mn)

swde-im-de-gitter.ggb

welche quadrate lassen sich
in ein gittersystem einpassen?
gehe möglichst systematisch vor.

qu-im-qu-gitter.ggb

 
dreieck mit seitenquadrate. wann sind die flächeninhalte ganzzahlig? de-qu-gitter.ggb

ein weiteres problem ist die darstellung einer geraden im rastersystem. dieser nach bresenham benannte
algorithmus soll in geogebra umgesetzt werden.

aus symmetriegründen genügt es,
sich auf steigungen zu beschränken,
die maximal 45° betragen.
infos dazu: bresenham-algorithmus (wikipedia)
 

bresenham-gerade.ggb

bresenham-geradeJS.ggb (javascript)

bresenham-gerade.dfw (derive)
 

die pixel im oktanten werden dabei entsprechend abgebildet..
infos dazu: bresenham-gerade-kreis.pdf
 

bresenham-kreisJS.ggb (javascript)

bresenham-kreis.dfw (derive)
 


wie viele wege führen in einem quadratraster von A nach B?

  auf wie viele verschiedene arten
kann man von A0,0) nach B(n,m) vorwärts wandern?

antwort:


so oft können n waagrechte schritte genommen werden.

 

 

variation:
auf dem weg von A nach B(n,m) muss man an P vorbei kommen.
P hat die koordinaten (p,q)

antwort:

wie oben - aufgeteit auf zwei etappen.

 

  von A(0,0) nach B(n,m) werden zwei routen genommen, die sich weder kreuzen noch berühren dürfen.

antwort:


 


 


zählen von sichtbaren rechtecken und quadraten in einem nxm-raster.

a) wie viele rechtecke  sind in dem nxm-raster zu sehen?
überlege mit: anzahl-re-test.ggb

b) wie viele quadrate sind in dem nxm-raster zu sehen?
überlege mit: anzahl-qu-test.ggb

antwort: anzahl-re-qu-raster.ggb
a) rechtecke
b) quadrate  
 

variation:

wie viele dreiecke sind in einem nxn-dreiecksraster zu sehen?

überlege mit: anzahl-de-test.ggb

 antwort:


die erste doppelsumme addiert alle nach oben und die zweite alle nach unten spitzen dreiecke.