• im körper der komplexen zahlen hat jede algebraische gleichung eine wurzel
      f(z) = zn+an-1zn-1 + an-2zn-2 + ... + a1z + a0 lässt sich in n linearfaktoren zerlegen:
      f(z) = (z - z1)(z - z2) ·... · (z - zn)
    • beispiele:
   eine komplexe polynomfunktion 3.grades mit komplexen koeffizienten:
 f(z) = z3 z3 + z2 z2 + z1 z + z0
 diese funktion hat genau 3 komplexe (nicht konjugierte) nullstellen.
 um diese sichtbar zu machen, wird die 3d-fläche |f(a+bi)| gebildet und deren höhenlinien gezeichnet.
 die nullstellen sind jene punkte mit level 0.
 die koeffizienten der funktion sind als komplexe zahlen (punkte) angelegt und können verändert werden:
 komplexgrad3koeffizienten.ggb
 
   analog komplexe polynomfunktion 4.grades mit veränderbaren komplexen koeffizienten.
 komplexgrad4koeffizienten.ggb
 
   komplexe polynomfunktion 5.grades:  f(z) = (z - z1)(z - z2) ·... · (z - z5)
 hier sind die nullstellen vorgegeben und können beliebig eingestellt werden.
 die höhenlinien werden dynamisch coloriert:
 komplexgrad5nullstellen.ggb
 
  • sind die koeffizienten reell, dann gibt es n paarweise konjugiert komplexe lösungen.
    ist zudem der grad n ungerade, dann exisitiert mindestens eine reelle lösung.
    sind die koeffizienten zudem symmetrisch, dann sind die lösungen paarweise reziprok.
  • beispiel:

     

     

    f(x) = x³ + px² + px +1

    (1) der grad 3 ist ungerade und symmetrisch angeordnete koeffizienten:
    a) eine reelle lösung
    b) x=-1 ist lösung

    (2) die funktion hat reelle, symmetrisch angeordnete koeffizienten:
    a) paarweise konjugiert
    b) paarweise reziprok

    funktion01.ggb
    funktion01.dfw (Derive)

     

    funktion01kurven.dfw
    (Derive)

     f(z) = f(a+bi) = re(a,b) + im(a,b) i
    re(a,b) ist eine fläche im raum
    im(a,b) ist eine fläche im raum

    re(a,b)=0 ist eine kurve in der nullebene
    im(a,b)=0 ist eine kurve in der nullebene

    die schnittpunkte sind die komplexen lösungen

    der betrag |f(a+bi)| verdeutlicht die nullstellen:
    funktion01betrag.dfw (Derive)

     
    funktion01abb.ggb

     mit kurve(re(a,b),im(a,b)) wird eine abbildung festgelegt, die den punkt P in P' überführt. legt man P auf einen kreis k mit veränderlichem radius r, dann erhält man das bild k' des kreises. bringt man P' in den ursprung (0,0), dann ist P eine lösung.

    wird der kreis k von P einmal durchlaufen, dann wird P' auf k' dreimal (grad) umlaufen.


    funktion01vieta.ggb

    x³+px²+px+1= 0 hat die reelle lösung x1= -1 (siehe oben) => laut satz von vieta:
    -(x1+x2+x3) = p
    x1x2 + x1x3 + x2x3 = p
    -x1x2x3 = 1

    wegen x1=-1, x2=a+bi, x3=a-bi gilt:
    -(-1+a+bi+a-bi) = p => 1-2a = p (gerade)
    -1(a+bi)-1(a-bi)+(a+bi)(a-bi) = p => -2a+a²+b²=p (kreis)
    -(-1)(a+bi)(a-bi) = 1 => a²+b² = 1 (kreis)
     


    nullstellen_kotiert.ggb

    f(z)=z²+pz+q 
    der betrag |f(x+iy)| ist eine fläche im raum, dessen schnitt mit der xy-ebene die lösungen anzeigt. von dieser fläche kann man die höhenschichtlinien zeichnen.

     

     


    nullstellen_raeumlich-v5.ggb
     

  • spezialfall: f(z) = zn-c => die n komplexen lösungen bilden ein regelmäßiges n-eck.
    (kreisteilungsgleichung)  kreisteilungsgleichung.ggb
  • beispiel: f(z) = z7 - c

    f(x) = x7 - c

    (1) der grad 7 ist ungerade, also eine reelle lösung, falls c reell.

    (2) die funktion hat reelle koeffizienten:
    a) paarweise konjugiert
    b) paarweise reziprok, falls c=±1

    funktion02.ggb
    funktion02.dfw (Derive)

     

    funktion02kurven.dfw
    (Derive)

     f(z) = f(a+bi) = re(a,b) + im(a,b) i
    re(a,b) ist eine fläche im raum
    im(a,b) ist eine fläche im raum

    re(a,b)=0 ist eine kurve in der nullebene
    im(a,b)=0 ist eine kurve in der nullebene

    die schnittpunkte sind die komplexen lösungen

    der betrag |f(a+bi)| verdeutlicht die nullstellen:
    funktion02betrag.dfw  (Derive)

     
    funktion02abb.ggb

     mit kurve(re(a,b),im(a,b)) wird eine abbildung festgelegt, die den punkt P in P' überführt. legt man P auf einen kreis k mit veränderlichem radius r, dann erhält man das bild k' des kreises. bringt man P' in den ursprung (0,0), dann ist P eine lösung.

    wird der kreis k von P einmal durchlaufen, dann wird P' auf k' 7-mal umlaufen.

  • satz von marden:

     komplexe funktion 3.grades:

     f(z) = z0 + z1 z + z2 z² + z3

    sehr interessantes zeigt der satz von marden:
    eine komplexe funktion 3.grades (mit komplexen koeffizienten) f(z) hat laut hauptsatz der algebra 3 komplexe lösungen:
    x1, x2, x3, die in der gaussschen ebene ein dreieck bilden.
    die beiden komplexen lösungen der 1.ableitung f'(z)  a1, a2 bilden dabei die brennpunkte einer ellipse,
    die dem dreieck x1,x2,x3 eingeschrieben ist.
     

     


     

     beispiedatei mit reellen koeffizienten: dreieck ist achsensymmetrisch zur reellen achse:
     komplex-satzvonmarden(rKoeff).ggb

     

     beispieldatei mit komplexen koeffizienten: dreieck hat beliebige lage, weil die lösungen nicht konjugiert sind.
     komplex-satzvonmarden(kKoeff).ggb