die strukturmathematik befasst sich mit  mengen und verknüpfungen ihrer elemente.

die axiome einer gruppe: (M,¤)

  1. abgeschlossen: wenn a,b aus M, dann muss a¤b ebenfalls ein element der menge sein
  2. assoziativ: (a¤b)¤c = a¤(b¤c)  d.h. man darf die klammern beliebig setzen und das resultat bleibt gleich.
  3. neutrales element: es muss genau ein element n geben, sodass für alle elemente a aus M gilt: a¤n = a
  4. inverse elemente: zu jedem element a aus M muss es ein a* geben, sodass a¤a* = n

gilt zusätzlich: kommutativ: a¤b = b¤a , dann handelt es sich um eine kommutative gruppe.

die axiome eines körpers: (M,¤,•)

  1. (M,¤) muss eine kommutative gruppe sein: das neutrale element heißt n (nullelement)
  2. (M\{n},•) muss eine kommutative gruppe sein: das neutrale element heißt e (einslelement)
  3. distributiv: a•(b¤c) = a•b ¤ a•c und (a¤b)*c = a*c ¤ b*c

beispiele:

(1) (Z,+) ist eine kommutative gruppe

(2) (Q,+,*) ist ein körper

(3) (Z,+,*) ist ein ring, d.h. kein körper, weil es das inverse element bezüglich der multiplikation (kehrwert) nicht gibt

(4) (Zp,+p,*p)  restklassen modulo p (primzahl) ist ein körper

z.b.: (Z7,+7,*7) ist ein körper, d.h. zu jeder restklasse gibt es einen "kehrwert"  3*x=1 (7) => x = 5
dies bedeutet, jede lineare gleichung in Z7 ist eindeutig lösbar.

 (5) die termgleichheit von (a+b)² = a² + 2ab + b² mit a,b aus R kann folgendermaßen auf die körperregeln zurück geführt werden.

ausgangsterm endterm regel
(a+b)² (a+b)(a+b) wiederholtes multiplizieren
(a+b)(a+b) a(a+b) + b(a+b) distributiv
a(a+b) + b(a+b) (a²+ab) + (ba+b²) distributiv
(a²+ab) + (ba+b²) a²+ab+ab+b² assoziativ (+),
kommutativ(*)
a²+(ab+ab)+b² a² +a(b+b)+b² assoziativ (+),
distributiv
a² +a(b+b)+b² a²+a(b(1+1))+b² distributiv,
neutral(*)
a²+a(b(1+1))+b² a² +ab2 + b² assoziativ(*)
a² +ab2 + b² a² + 2ab + b² kommutativ(*)