nr. fragestellung    aufgabenthema
1 wenn 2010 die 10. zahl einer fibonacci-folge ist, wie lauten dann die ersten  beiden fibonaccizahlen?    diophantische gleichung
2 wie kann man aus der PFZ (primfaktorenzerlegung) einer zahl die anzahl ihrer teiler ermitteln? wie erhält man systematisch alle teiler von 2010?    PFZ, teilermenge
3 eine geheimnummer lautet verschlüsselt 1714733. für die verschlüsselung wurde rsa mit dem öffentlichen schlüssel m = 4056187 und dem sendeschlüssel s = 1031 verwendet. wie lautet die geheimnummer?    RSA-verfahren
4 vergleiche die kettenbrüche von 26/17 und 17/26    kettenbruch
5 wie lautet die kleinste zahl, die genau 100 teiler besitzt?    PFZ, teiler
6 89 ist eine fibonacci-zahl. welche besondere eigenschaft hat ihr kehrwert?    zahlenfolge
7

ergänze die ziffern folgender multiplikation:

   kombination und   fallunterscheidung
8

welche tiefere gesetzmässigkeit steckt in diesen  wurzeltermen?

   termdarstellung
9

multipliziere 41 mit einer dreistelligen zahl, z.b. 41*347 ergibt 14227. wenn man nun die einerstelle 7 nach "vorne" stellt, dann erhält man 71422 = 1742*41. diese zahl ist also wieder durch 41 teilbar. teste dies mit anderen vielfachen von 41. wie kann man beweisen, dass dies immer so ist?
die zahl 37 hat eine ähnliche eigenschaft.

   eigenschaften von zahlen
10

die zahl 30 ist eine besondere zahl. was bietet sich zahlentheoretisch an, um auf diese eigenschaft zu kommen?

  eigenschaften von zahlen
11

suche eine bestimmte fünfstellige zahl, die, wenn man einen Einser dahinter setzt, dreimal so groß ist, wie wenn man den Einser davor setzt.

   diophantische gleichung
12

die zahl 27594 ist eine besondere zahl. wenn man  sie in faktoren zerlegt 9*42*73 = 7*3942  so  handelt es sich auf beiden seiten um die gleichen ziffern.  gibt es noch andere fünfstellige zahlen, die sich auf diese art darstellen lassen?

  eigenschaften von zahlen
13

die zahl 45 soll so in vier teile zerlegt werden, dass man ein und dieselbe zahl erhält, wenn man zum ersten teil 2 addiert, vom zweiten teil 2 subtrahiert, den dritten teil mit 2 multipliziert und den vierten teil mit 2 dividiert.

   diophantische gleichung
14

xxxxxxxx : xxx = xx8xx
  xxxx
    xxxx

                  0
wie lauten die ziffern in dieser divisionsrechnung?

  kombinieren
15

es sei p eine ungerade primzahl verschieden von 5. man zeige, dass es unter den ersten p zahlen der folge 1,11,111,1111,11111,... mindestens eine zahl gibt, die durch p teilbar ist.

   teilbarkeit
16

man zeige, dass 834 - 818 - 816 + 1 durch 323 teilbar ist

  satz von euler bzw. fermat
17

man hat 24 münzen und drei gegenstände A, B, C. von drei zuschauern L,M,R bekommt L eine münze, M zwei und R drei münzen. verdeckt wählt jede person einen gegenstand. nun bekommt jene person, die A hat, nochmals so viele münzen, wie sie schon hat. wer B ergattert hat, nimmt sich doppelt so viele münzen, wie er zu beginn erhalten hat, und schließlich, wer C hat, schnappt sich viermal so viele münzen, wie er schon besitzt. man kann jetzt genau sagen, wer welchen gegenstand hat, wenn man nur die restliche anzahl von münzen sieht.
a) welche anzahl münzen bleiben in jedem der fälle als rest übrig?
b) wie sieht die einzelne gegenstandskombination aus?
 

  fallunterscheidung
18

Berwicks problem der sieben sieben:
division ohne rest. wie lauten die unbesetzten ziffern?

            **7******* : ****7* = **7**
            ******
            ------
            *****7*
            *******
            -------
              *7****
              *7****
              ------
              *******
              ****7**
              -------
                ******
                ******
                ------

 

  logisch kombinieren

  problem-sieben7.pdf

19

paul bezahlt seinen einkauf mit einem 100€-schein. der kassier verwechselt beim herausgeben cents mit euros. auf dem heimweg verliert paul 5 cent. zu hause stellt er fest, dass er doppelt so viel geld hat, wie er eigentlich hätte rausbekommen sollen. wie hoch war der rechnungsbetrag?
 

 diophantische gleichung

1 8 brave kinder (b=8)  kommen zu einer geburtstagsfeier und bringen 64 stk. topfenstrudel (t=64) mit. später kommen noch 5 schlimme kinder (s=5) dazu, die aber keinen strudel mitbringen, sondern sogar noch 25 stk. (w=25) vom vorhandenen weg essen. die bösewichter werden pardoniert, und alle kinder bekommen den rest gleichmäßig aufgeteilt. wie viel bleibt für jeden?
die formel lautet klarerweise (t-w)/(b+s).
oder vereinfacht: t/b minus w/s. die werte eingesetzt: 64/8 -25/5 also 8-5 = 3 stk. für jedes kind.
probe: 64-25 = 39 reststücke auf 8+5 = 13 kinder aufgeteilt sind 3. passt.

eine woche später:

7 kinder (b=7) bringen 56 stk. nussstrudel (n=56) . 4 kinder kommen dazu (s=4), die heimlich 20 stk. (w=20) weg essen.
rechnet man wie zuvor, dann ist 56/7 - 20/4 = 8-5 =3 stk. pro kind.
probe: 56-20 = 36 reststücke auf 7+4 = 11 kinder aufgeteilt liefert für jedes kind wieder 3 stk., aber 3 bleiben noch auf dem teller übrig. an den nüssen kann es nicht  liegen. was ist los?

2

(a) wenn man zwei aufeinanderfolgende primzahlen > 2 addiert und durch zwei dividiert, kommt immer eine ganze zahl heraus, die aber nie selbst eine primzahl ist.

(b) warum hat jede primzahl außer 2 und 3 entweder als oberen oder als unteren nachbarn ein vielfaches von 6?

3 adam und eva sind zusammen 44 jahre alt. eva ist jetzt doppelt so alt, wie adam zu der zeit war, als eva halb so alt war, wie adam sein wird, wenn er dreimal so alt ist wie eva, als diese dreimal so alt war wie adam. wie alt sind die beiden?
4

erich fährt ist mit dem rad von pidorf schon 7 km in richtung müstadt gefahren, als ein reifen platzt. er schiebt das rad nach müstadt, repariert den reifen und fährt nach pidorf zurück. um wie viele km ist erich mehr gefahren als gegangen?

5 sie haben eine balkenwaage und nur zwei gewichte: 10 gramm und 40 gramm. und sie haben 1.8 kg gries. wie können sie mit nur drei wägungen den gries in eine 400-gramm- und eine 1400-gramm-menge aufteilen?
6

sie wollen für vier jahre  ihr geld möglichst gewinnbringend anlegen. man bietet ihnen drei investmentmodelle an:
(1) eine verzinsung von 8% jedes jahr

(2) eine anlage mit einem verlust von 8% im 1.jahr und zinsen von 13,33% ab dem 2.jahr

(3) 12% im 1. und 3.jahr und 4% im 2. und 4.jahr.

jede anlage bringt also im "schnitt" 8% pro jahr.
welche variante sollten sie wählen, wenn alle gleich riskant sind?

7 gibt es eine zahl, die 1 rest gibt, wenn man sie durch 3 dividiert, 2 rest, wenn man sie durch 4 dividiert, 3 rest, wenn man sie durch 5 dividiert, und 4 rest, wenn man sie durch 6 dividiert?
8

(1) ein bub wird zufällig ausgewählt, und man stellt fest, dass er aus einer familie mit zwei kindern kommt. wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass das andere kind auch ein bub ist?

(2) von einer bestimmten familie mit zwei kindern weiß man, dass sie zumindest einen buben hat. wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass es dort zwei buben gibt?

9 als mutter hans auf die welt brachte, war sie genau 32 jahre und 5 monate alt. heute sind sie und hans zusammen 42 jahre und 11 monate alt. zugleich ist hans jetzt dreimal so alt, wie seine schwester eva war, als mutter gerade 18-mal so alt war wie eva. wo war der vater vor 6 jahren?
10 eine gruppe von schulpflichtigen kindern sitzt bei einer geburtstagsfeier rund um die torte. wenn man ihr alter multipliziert, erhält man die zahl 60060. wie viele kinder sind es?
11 ein wert a zwischen 9 und 11 ist zu erraten. für jedes prozent irrtum (von a) ist eine strafe zu zahlen. wie muss man x wählen, damit die größtmögliche strafe am geringsten ist?
12 in amazonien tragen genau 3.5% der 256 795 frauen jeweils einen ohrring. die restlichen 96.5% teilen sich in zwei gleich große gruppen von frauen auf, die gar keinen bzw. zwei ohrringe tragen. wie viele ohrringe tragen die frauen ?
13 der kleine paul kann in einer stunde 16 zwetschkenknödel verspeisen. sein bruder peter braucht dafür drei stunden. wenn nun beide gemeinsam starten - wie lange brauchen sie dann für die 16 knödel?
14 ein mann hinterläßt eine schwangere witwe. er hat im testament verfügt, dass bei der geburt eines sohnes dieser 2/3 des erbes erhält und die witwe 1/3. Ist es ein mädchen, dann soll es 1/3 bekommen und die witwe 2/3. nun kommen aber zwillinge zur welt: ein bub und ein mädchen. wie soll der testamentvollstrecker im sinne des vaters nun entscheiden?
15 ein internat hat zwei stockwerke, in denen jeweils acht schlafzimmer liegen - pro stockwerk jeweils drei zimmer an jeder seite  des quadratischen baus (und ein stiegenhaus in der mitte). die regel sieht vor, dass ...
1) jedes zimmer mit einem zögling belegt ist
2) in den sechs zimmern jeder front insgesamt genau elf zöglinge schlafen und
3) im zweiten stock doppelt so viele untergebracht sein müssen wie im ersten.
nachdem neun über nacht verschwinden, arrangieren die anderen die schlafplätze so, dass die regeln weiterhin gelten. wie geht das - und wie viele schüler sind nun im internat?
16 eine frau kam einst in ein  postamt, zückte einen 100-schilling-schein und verlangte 2-schilling-briefmarken, zehnmal so viele 1-schilling-briefmarken und für den rest 5-schilling-briefmarken. wie viele briefmarken hatte sie insgesamt bekommen?
15 ein händler hat wein und bier in sechs vollen fässern zu 15, 16, 18, 19, 20 und 31 liter. in fünf fässern ist wein, in einem bier. dem ersten kunden verkauft er wein, dem zweiten kunden doppelt so viel wein, sodass ihm nur noch das bier bleibt. in welchem fass ist das bier?
16 albin will den inhalt eines 15-liter-behälters mit bernd und chris gleichmäßig teilen. er hat aber nur einen 7-liter-bottich und zwei 4-liter-eimer. wie müssen die drei freunde vorgehen, damit jeder 5 liter wein bekommt?
17

die zahl 45 ist in vier summanden aufzuteilen, die folgende eigenschaften haben:
man erhält jeweils dieselbe zahl, wenn man zum ersten summanden 2 addiert, vom zweiten summanden 2 subtrahiert, den dritten mit 2 multipliziert und den vierten durch 2 dividiert.

18 welche zwei natürliche zahlen mit der differenz d=32 haben bei division den quotienten q=5 und den rest r=4?
für welche Werte d,q,r ist diese aufgabe eindeutig lösbar?
19

welche besonderheit weisen folgende zahlen (<100) auf?
4, 8,16, 28, 42, 70, 84, 91, 98

20 wie muss man 10 weisse und 10 schwarze kugeln auf zwei leere urnen aufteilen, damit man beim (zufälligen) herausgreifen einer kugel mit möglichst großer wahrscheinlichkeit eine weisse kugel erwischt?
21

          VATER
   MUTTER
   ELTERN

gleiche buchstaben bedeuten gleiche ziffern. finde die sechs lösungen!

22 die teiler von 180 sind so auf drei mengen aufzuteilen, dass alle dieselbe summe haben. zahlen, bei denen eine derartige aufteilung möglich ist, nennt man libanesisch.
23

zwei mathematiker treffen einander: "hast du nicht drei söhne?",fragt der eine. "wie alt sind die denn jetzt?".
"das produkt ist 36", lautet die antwort, "und die summe der jahre ist genau das heutige datum."
"hmm, da brauche ich noch eine angabe", sagt der andere.
"oh ja, ich habe ganz vergessen zu erwähnen, dass mein ältester sohn geige spielt."
"ach ja, jetzt weiß ich's."

24 die zahlen 1 bis 15 sollen so in einer reihe aufgeschrieben werden, dass jede der zahlen genau einmal vorkommt und die summe je zweier benachbarter zahlen eine quadratzahl ist. bestimme alle lösungen.
25

add this to that, divide by three,
the square of this of course you'll see.
but that to this is eight to one.
so figure what they are, for fun.

welchen wert haben this and that?

26 die zahlen 12, 13 und 15 sind - in irgendeiner reihenfolge - maßzahlen zweier seiten und der höhe über der dritten seite eines spitzwinkeligen dreiecks.
welchen flächeninhalt hat das dreieck?
27 ein quadrat besteht aus 18 kleineren quadraten mit ganzzahliger seitenlänge. 17 von ihnen haben die setienlänge 1.
wie groß ist die fläche des gesamten quadrats?
28 was haben die folgenden zahlen gemeinsam?
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,54,60,63,70,72,80,81,84,90,100,...
wie geht es weiter in dieser folge?
29 für die konstruktion eines dreiecks braucht man 3 angaben, für ein Vierck 5 angaben. wie viele angaben benötigt man für ein achteck?
wie viele angaben braucht man für ein n-eck?
30 ein 5x5-raster ist so mit natürlichen zahlen ausgefüllt, dass in jeder zeile (1-5), spalte (a-e) und in den beiden hauptdiagonalen
jeweils arithmetische folgen (fortlaufende zahlen mit gleichem abstand) stehen. drei zahlen sind bekannt, und zwar
steht im feld b4 die zahl 16, in c3 steht 27 und in e5 steht 21. welche zahl steht in c2?
31 die zahlen von 1 bis 15 sind anzuordnen, dass benachbarte zahlen in summe eine quadratzahl ergeben.
32  ramanujan hat folgende gleichheit gefunden: 3 = √(1+2√(1+3√(1+4√(1+...))))   ramanujanwurzel.ggb

 

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