500 nachkommastellen auswendig

wie kommen diese kommastellen zustande?

3.
14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 
58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 
82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 
48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 
44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 
45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 
72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 
78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 
33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548
07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912

 

näherung im raster:

man zählt die kästchen und erhält eine näherung für die viertelkreisfläche. diese zahl mal 4 ergibt eine näherung für π. je feiner der raster desto besser diese näherung.

   pi-exhaustion.ggb

monte-carlo-methode:

das verhältnis der innerhalb des viertelkreises liegenden zufallspunkte zu der zahl der gesamtpunkte ist eine näherung für π/4. (viertelkreis : quadrat)
je mehr punkte man "regnen" lässt desto besser die näherung.

   pi-montecarlo.ggb
näherung mit vieleck:    

 - archimedes (radius const):
ausgehend von einem quadrat werden vielecke mit sich verdoppelnder seitenzahl einem kreis mit fixem radius 1 ein- und umschrieben. beim einschreiben nähert man sich von unten, beim umschreiben von oben dem kreisumfang 2π.
halbiert man den wert, erhält man eine näherung für π. je öfter man verdoppelt desto besser die näherung.

 
vielecke einschreiben



vielecke umschreiben

pi-einschreiben.ggb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 pi-umschreiben.ggb

 - cusanus (umfang const):

cusanus hat bei seinen überlegungen den umfang fixiert und den radius angepasst.

   pi-cusanus.ggb

 euler stellte einen faszinierenden zusammenhang zwischen pi und den primzahlen her.

   erklärung siehe:
euler-pi-primzahlen.pdf

quadratur des kreises nach ernst willi:

- flächengleiche näherung
- umfangsgleiche näherung

   pi-willi.ggb

kettenbrüche:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

unendliche reihen:

 

  euler (1739)

 

 

 

 

 

 brounker (1620-1684)

 

 

j.m.dase (1844)


 lindemann (1882)


 ramanujan (1910)

 näherungskonstruktionen für Pi:

 hou han shu    rw dreieck mit den katheten 1 und 3
 hypotenuse = √10 ~ 3.1622
 fehler: 0.66 %
 
 
 approximation der ägypter   (4/3)^4 ~ 3.16049
fehler: 0.6 %
 
 
 √2 + √3 ~ Pi    √2 + √3 ~ 3.1462
  fehler: 0.46 %
 
 pi-konstr03.ggb
 kochansky (1685)     ON = OS=1
   03 = 3
 N3 = √(NS²+(03-S0)²) =
       = √(4+(3-1/√3)²) ~ 3.141533 ~ pi
 fehler:0.002 %
 pi-konstr01.ggb
 specht (1836)  

 OA = 1/2, OB = 1, BC=1/10, CD=2/10
 OE = AC = √(1.1²+0.6²) = √146 /10
 EF || AD
 OF = OD*OE/OA = 13 √146 /50 ~
 3.1415919
 fehler: 0.000024 %
 

 pi-konstr05.ggb
 de gelder (1849)  

  OA = OB = 1, OC = 7/8
  BD = 1/2
  DE || OA, DF || CE

  BE / BD = OB / BC =>
  BE = BD*OB / BC = BD / BC
  BF / BD = BE / BC => 
  BF = BD*BE / BC = BD² / BC² =
        = (1/4) / (1²+(7/8)²) = 16/(8²+7²) =
        = 0.1415929
  fehler: 0.0000078 %

 pi-konstr06.ggb
 hobson (1913)  

 AB=AC=1
 AD= 3/5, AE=1/2, AF=3/2
 thaleskreis DE, thaleskreis BF
 IH=1, IH || BC
 GJ normal auf IG
 HJ = (9+3√5)/5 ~ 3.14164

 fehler: 0.0015 %

 pi-konstr02.ggb
 goodhue (1974)    OA = OB = 1/2,
 AD=3/10
   E ist mitte von DC
 DE = 1/2 √((√3/4-3/10)²+1/16) ~ 0.1415912
 fehler: 0.00005 %
 
 pi-konstr04.ggb
 ramanujan    RD² = r² 355/113 ~ 3.1415929204  pi-ramanujan1.ggb