Zahlenfolgen

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eine zahlenfolge hat die rekursive vorschrift:

  • a1 = 1
    an+1 = an /( 1+ an)
  •  [1,1/2,1/3,1/4,...]
  • wie lautet das explizite bildungsgesetz?
 zahlenfolge01.ggb

eine zahlenfolge hat die rekursive vorschrift:

  • a1 = 1, a2 = 2
    an+1 = 5an -3an-1 wenn  an-1 *an gerade
    an+1 = an -an-1      wenn  an-1 *an ungerade
    veranschauliche die zahlenfolge!
 zahlenfolge02.ggb

eine zahlenfolge hat die vorschrift:

  • a1 = 1/2, a2 = 2/3 (a1+1), a3 = 3/4 (a2+1), a4=4/5(a3+1)
    wie lautet die explizite vorschrift?
 zahlenfolge03.ggb

auf einer kreislinie werden n punkte aufgetragen und jeder mit jedem verbunden.
man zähle nun die teilgebiete, in die die kreisfläche zerlegt wird.

n 0 1 2 3 4 5 ...
g 1 1 2 4 8 16...

finde eine vorschrift für g(n)!

 zahlenfolge04.ggb

verschiedene zahlenfolgen nach moessner:

( john conway: "Zahlenzauber", birkhäuser )

 moessner.xls

wie kann man aus der binomischen formel (a+d)²=a²+2ad+d² pythagoräische tripel erzeugen? methode von brahmagupta

  • setze b²=2ad+d² => a = (b²-d²)/(2d)
  • wähle einen beliebigen wert b>2.
  • setze d=b-2
  • probiere, ob a ganzzahlig:
    • wenn ja, c=a+d => tripel (a,b,c) ausgeben
    • wenn nein, weiter mit d-2
  • solange probieren, bis d<1

pythtripelJS.ggb

pythtripelalgorithmus.pdf

pythtripelalgorithmus.dfw

[1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 5, 1, 4, 3, 6, 2, 5, 1, 4, 7, 3, 6, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 10, 3, ...]
streicht man aus dieser liste der reihe nach jede zahl heraus, die noch nicht vorgekommen ist, dann erhält man eine zahlenfolge, die mit der ausgangsliste identisch ist. wie kann man eine solche zahlenfolge erzeugen?

signatur von √2:

man erzeugt die liste [a+b√2], ordnet diese der grösse nach und gibt die zahlenfolge [a] aus.

 signaturen.dfw

erzeuge zahlenfolgen mit folgender grafik.

   starte die datei, wähle die figur und berechne die summe der zahlen.

   hier: pos=12 und summe=57

   erzeuge eine tabelle mit den spalten pos und summe und

   ermittle das bildungsgesetz für  die summe in abhängigkeit von pos, d.h. summe(pos)

 um welche folgen handelt es sich?

  figurzahlen.ggb
starte mit zwei beliebigen zahlen, etwa 1 und 2. versuche nun, eine reihe von kontinuierlichen ansteigenden ganzen zahlen zu erzeugen, die als summe genau nur eines einzigen vorhergehenden zahlenpaares dieser reihe gebildet werden können:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, ...
wie sieht eine solche folge mit den startzahlen 1,3 oder 2,5 oder 100, 101 aus?		  
untersuche folgende rekursive folge:
f(0)=0, f(n) = 10*f(n-1)+n
was fällt auf, wenn man √f(n) bildet? zeige, dass dabei die reihe 1-5-6-2-4-9-6-3-9-2 ... eine bedeutung hat		  
fertige einen satz von karten 1, 2, 3, 4, ..., n an.nimm die oberste karte und schiebe sie unter den stapel.
lege die nächste karte auf den tisch. wiederhole dies, bis alle n karten abgelegt sind. notiere die platznummerder ursprünglich obersten karte.
die antwort hat mit der reihe 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 5, 3, 6, 2, 7, 4, 8, 1, 9, 5, 10, 3, 11, 6, 12, 2, 13, 7, 14, 4, 15, 8, ...
diese folge ist fraktal, d.h. sie hat eine unendliche anzahl von "kopien" ihrer selbst.
man kann sich davon überzeugen, indem man aus der reihe jedes mal eine zahl heraus streicht, wenn sie zum ersten mal auftaucht:
1, 1, 2, 1, 3, 2, 04, 1, 5, 3, 6, 2, 7, 4, 8, 1, 9, 5, 10, 3, 11, 6, 12, 2, 13, 7, 14, 4, 15, 8, ...
 		  

(1) polygonalzahlen

(2) polyederzahlen

  figuriertezahlen.pdf

 1³ + 5³ + 3³ = 153
16³ + 50³ + 33³ = 165033
166³ + 500³ + 333³ = 166500333
1666³ + 5000³ + 3333³ = 166650003333
etc.
beweis:
die drei zahlen auf der linken seite allgemein ausdrücken, kubieren und vereinfachen
die zahl auf der rechten seite allgemein ausdrücken und vereinfachen => der gleiche term

  165033.dfw
 165033.pdf

 

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