konstruktionen am dreieck:


fukuta-theorem

 


feuerbach
    was kann an der nebenstehenden figur alles abgelesen werden?
  1.winkel, 2.höhe, 2.winkelsymmetrale  de-alpha-hb-wb.ggb
  1.winkel, 2. und 3.höhe  de-alpha-hc-hb.ggb
  1.winkel, 2.seite, 3.winkelsymmetrale  de-b-wc-alpha.ggb
  3.seite, 3.höhe, 3.schwerlinie  de-c-hc-sc.ggb
  3.seite, um- und Inkreisradius  de-c-r-rho.ggb
  1.höhe, 2.höhe, 3.höhe (variante 1)  de-ha-hb-hc-01.ggb
  1.höhe, 2.höhe, 3.höhe (variante 2)  de-ha-hb-hc-02.ggb
  1.schwerlinie, 2.schwerlinie, 3.schwerlinie  de-sa-sb-sc.ggb
  1.höhe, 1.schwerlinie, inkreisradius  de-ha-sa-rho.ggb
  1.seite, 2.höhe, 1.schwerlinie  de-c-ha-sc.ggb
  1.seite, 2.höhe, 2.winkelsymmetrale  de-c-ha-wa.ggb
  1.seite, 1.höhe, 1.schwerlinie  de-c-hc-sc.ggb


zentren im dreieck:

neben den bekannten zentren im dreieck: umkreiszentrum, inkreiszentrum, höhenzentrum, schwerpunkt
gibt es über 2000 weitere zentren, die im sog. kimberling gesammelt sind:


http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/KimberlingCenters_800.gif


fermatpunkt

feuerbachpunkt

gergonnepunkt

miguelpunkt

napoleonpunkt

spiekerpunkt (linienschwerpunkt)

 

beziehung der flächeninhalte von gleichseitigen dreiecken, die an dreieckseiten eines dreiecks mit besonderen winkeln angelegt werden.
siehe datei: DE-glsDE-30-150.ggb

   
 winkel bei C ist 30° =>Tc + 3D = Ta + Tb  winkel bei C ist 60° =>Tc + D = Ta + Tb
   
winkel bei C ist 120° =>Tc - D = Ta + Tb winkel bei C ist 150° =>Tc - 3D = Ta + Tb 

mathematischer hintergrund: cos-satz
c² = a²+b² - 2ab cos(C) =>√3/4 c² =  √3/4 a²+√3/4 b²- √3/2 ab cos(C) => Tc = Ta + Tb - √3 cot(C) D => Tc + √3 cot(C) D = Ta + Tb

für die speziellen winkelwerte gilt: cot(30°)=√3, cot(60°)=√3/3, cot(90°)=0, cot(120°)= -√3/3, cot(150°)= -√3

 analogie zum pyhtagoräischen lehrsatz am allgemeinen dreieck:

b² = a² + c² - 2cq, wenn spitz b² = a² + c² + 2cq, wenn stumpf
beweis:
a² = h² + q²
b² = h² + (c-q)² = h² + c² - 2cq + q²
a² einsetzen
beweis:
a² = h² + q²
b² = h² + (c+q)² = h² + c² + 2cq + q²
a² einsetzen

 

eine anwendung führt zum satz von stewart:

c(d²+mn) =ma² + nb²

 

beweis:
a² = d² + n²  + 2 n HD

b² = d² + m² -  2m HD
-----------------------------
HD eliminieren liefert:
ma² + nb² = (m+n)d² +mn²+nm²
ma² + nb² = c(d²+mn)

 

damit kann man die schwerlinie berechnen:
c/2 a² + c/2 b² = c (sc² +c²/4) => 4sc² = 2a² + 2b² - c²

damit kann man die winkelsymmetrallinie berechnen:
bc/(a+b) a² + ac/(a+b) b² = c(wc² + bc/(a+b) ac/(a+b)) => wc = ab - abc²/(a+b)²


beweiskette für PLS unter http://LearningApps.org/watch?v=ppti8v7ac