inzidenzaxiome

i1

durch zwei verschiedene punkte gibt es genau eine gerade.

i2

zu jeder geraden gibt es mindestens zwei verschiedene punkte, die auf dieser geraden liegen.

i3

es gibt drei verschiedene punkte, die nicht alle auf derselben geraden liegen.

parallelenaxiom

p

zu jeder geraden gibt es durch jeden punkt genau eine parallele.

axiome der anordnung

a1

die menge der punkte jeder geraden ist streng linear geordnet.

a2

 es seien A und B zwei punkte einer geraden mit A "vor" B.
dann enthält diese gerade drei weitere punkte C,D,E mit C "vor" A, D "zwischen" A und B und E "nach" B.

a3

jede gerade zerlegt die ebene in zwei disjunkte offene halbebenen.
liegen die punkte A und B in derselben halbebene, dann hat die strecke AB mit der geraden keinen gemeinsamen punkt ansonsten mindestens einen.
längenmaßaxiome

l1

wenn P ein punkt der strecke AB, dann gilt: l(AB) = l(AP) + l(PB).

l2

wenn ein punkt P nicht auf der strecke AB liegt, dann gilt: l(AB) < l(AP) + l(PB).

l3

zu jeder halbgeraden mit dem anfangspunkt Aund zu jeder länge r gibt es mindestens einen punkt P auf der halbgeraden, sodass l(AP) = r.

winkelmaßaxiome

 w1

 für alle winkelwerte w gilt: 0°<=w<=360°.

 w2

 für drei halbgeraden a, b, c mit dem selben anfangspunkt S gilt:
w(a,c) = w(a,b) + w(b,c) , falls w(a,b) +w(b,c) < 360°
w(a,c) = w(a,b) +w(b,c) - 360°, falls w(a,b) + w(b,c) >=360°.

 

 w3

 liegt der anfangspunkt S einer halbgeraden a auf einer geraden b,
dann gilt: w(a,b) <= 180°.

 w4

 zu jeder halbgeraden a und jeder winkelgröße 0°<=w<=360° gibt es genau eine halbgerade b, sodass w(a,b) = w.

  orthogonalitätsaxiom

 o1

 zu jeder geraden gibt es durch jeden punkt P, der nicht auf der geraden liegt, höchstens eine gerade, die dazu im rechten winkel steht.