Vierecke

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übersicht über die familie der vierecke:

die einteilung erfolgt nach den vier gesichtspunkten: umkreis, inkreis, drache, trapez

 

eine andere gröbere einteilung (ohne um- und inkreis) stellt das folgende mengendiagramm dar.
die familie der parallelogramme ergibt sich dabei als schnittmenge der menge der drachen mit der menge der trapeze:

 

übersicht nach den deckbewegungen:                                  übersicht nach den bestimmungsstücken:

       vierecke-deckbewegungen.ggb   vierecksfamilie.ggb

vierecktypen.ggb im gitter

konstruktionen und aufgaben zum thema viereck:


collignon-theorem.ggb

 

 

konstruktionen und aufgaben zum thema sehnenviereck:


kollinearität
  • sehnenviereck 1: svaufgabe01.ggb
    im dreieck ABC seien D,E,F beliebige punkte auf den seiten AB,BC,CA.
    a) zeige, dass sich die umkreise ADF, BED, CFE in einem punkt schneiden
    b) zeige, dass das dreieck aus den drei kreismitten zu ABC ähnlich ist.
     
  • sehnenviereck 2: svaufgabe02.ggb
    im spitzwinkeligen dreieck ABC (AB <>AC) trifft der kreis mit durchmesser BC die seite AB in M und AC in N. die seitenmitte von BC ist O. die winkelhalbierenden in A und O schneiden sich in R.
    zeige, dass die umkreise BRM und CNR einen punkt L auf der seite BC gemeinsam haben.
   sehnenviereck 3: svaufgabe03.ggb
zeige, dass die winkelhalbierenden eines beliebigen vierecks ABCD ein sehnenviereck bestimmen!
wann ist dieses ein rechteck bzw. ein quadrat?

   sehnenviereck 4: svaufgabe04.ggb
zeige, dass die winkelhalbierenden der aussenwinkel eines beliebigen vierecks ABCD
ein sehnenviereck bestimmen! wann ist dieses ein rechteck bzw. ein quadrat?

   sehnenviereck 5: svaufgabe05.ggb
die winkelhalbierenden eines sehnenvierecks ABCD treffen den umkreis in U,V,W,X.
zeige, dass es sich bei UVWX um ein rechteck handelt.

   sehnenviereck 6: svaufgabe06.ggb
zeige, dass sich die lote von den seitenmitten eines sehnenvierecks ABCD auf die
gegenüberliegende seite in einem punkt schneiden.

   sehnenviereck 7: svaufgabe07.ggb
im viereck ABCD stehen die diagonalen normal aufeinander und schneiden sich in S.
zeige, dass die lotfusspunkte von S auf die vierecksseiten ein sehnenviereck bilden.

   sehnenviereck 8: svaufgabe08.ggb
in einem dreieck ABC wird in A und B jeweils die tangente an den umkreis errichtet.
von C aus werden die lote auf die tangenten und die gegenseite AB gefällt.
die lotfusspunkte lauten X,Y und Z.   zeige, dass die dreiecke CXZ und CZY ähnlich
sind und CZ² = CX * CY gilt.

   sehnenviereck 9: svaufgabe09.ggb
im dreieck ABC sei M die mitte von BC und D der lotfusspunkt der höhe von A auf BC.
E und F sind die lotfusspunkte der lote von B bzw. C auf die winkelhalbierende von A.
zeige, dass MEDF ein sehnenviereck ist.

   sehnenviereck 10: svaufgabe10.ggb
in einem sehnenviereck ABCD ist AB = AD + BC. zeige, dass sich die winkelhalbierenden
in C und D genau auf der seite AB schneiden.
  was kann man von der geometrischen figur alles ablesen?
stelle eine vermutung auf und versuche sie zu beweisen.
verwende für deine erforschung folgende datei:
quadrataufgabe.ggb
 

wie kann man ein beliebiges viereck mit einem geraden schnitt halbieren?
probiere und überlege mit hilfe folgender datei:
viereckhalbe.ggb
viereckhalbeLsg.ggb

 aufgaben zum peripheriewinkelsatz:

vom höhenschnittpunkt H im dreieck ABC werden normale auf die innere und äußere winkelsymmetrale von A gelegt. P und Q seien die lotfußpunkte.

zeige: PQ schneidet BC im mittelpunkt M.
hoehe-winkel-mitte.ggb
 

 

der umkreis des dreiecks ABC wird von den höhen in D,E,F geschnitten.

zeige: HD, HE, HF werden durch die dreiecksseiten halbiert.
hoehen-umkreis-sechseck.ggb
 

 

A, B sind die schnittpunkte zweier kreise und X ein beliebiger punkt auf einem der kreise. der andere kreis wird von XA und XB in C bzw. D geschnitten.

zeige: die Länge CD ist konstant, unabhängig von X.
sehne-konstant.ggb